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複素数の累乗根

3次ベジエ曲線と直線の交点を
確実に求めるためには、３次方程式を解の公式で解くのがよさそう。


まず、C# で複素数を扱う方法を調べる。

http://msdn.microsoft.com/ja-jp/library/6fbs5e2h(VS.80).aspx
このページを見つけた。読んでみると、普通にクラスを作っていたようなので、まねる。

    struct Complex
    {
        public double real;
        public double imag;

        public Complex(double real, double imaginary)  //constructor
        {
            this.real = real;
            this.imag = imaginary;
        }
       ・・・・・・・

加えて、 -, * の演算子もオーバーロードしておく。

        public static Complex operator -(Complex c1, Complex c2)
        {
            return new Complex(c1.real - c2.real, c1.imag - c2.imag);
        }

        public static Complex operator -(Complex c1)
        {
            return new Complex(-c1.real, -c1.imag);
        }

        public static Complex operator *(Complex c1, Complex c2)
        {
            return new Complex(c1.real * c2.real - c1.imag * c2.imag,
                                  c1.real * c2.imag + c1.imag * c2.real);
        }


そして、累乗根の関数を作る

        // n乗根
        public static Complex[] proot(Complex c, int i) {
            Complex[] result = new Complex[i];
            double theta = Math.Atan2(c.imag, c.real);

            double r = Math.Sqrt(c.real*c.real + c.imag*c.imag);
            double r13 = Math.Pow(r, (1.0/i));

            for (int cnt = 0; cnt < i; cnt++) {
                result[cnt] = new Complex(
                            (r13 * Math.Cos((theta + Math.PI * 2.0 * cnt) / i)),
                            (r13 * Math.Sin((theta + Math.PI * 2.0 * cnt) / i)));
            }

            return result;
        }

手順

1. z = a + bi を、極形式にする。 -> z = r(cos θ + i sinθ)
2. z^(1/3) = r^(1/3) * (cos θ + i sin θ)^(1/3)
3. r の３乗根は sqrt(r, 1.0/i) で求める。(３乗根なら i = 3)
4. 後ろのほうは、ド・モアブルの定理で、
   cos(θ/3) + i sin(θ/3) にする
5. 角度を 2π ずつ加えながら繰り返し、 ３乗根なら３つの解を得る。